MrAndrea allora considerando che le diagnosi fatte bene non si fanno tramite un forum ma si fanno con il modem in mano , ti direi alcune cose che ho illustrato in foto sotto

1: Con la punta del saldatore leva quel pezzo di stagno nel riquadro giallo e cerca di pulire bene i pezzi rimanenti del condensatore
2: Prendi il tester e in modalità continuità misuri il fusibile all interno dell area rossa nella foto e vedi se suona o meno ( se suona è ok perchè è un fusibile altrimenti è da cambiare )
3: Ammesso che siano stati eseguiti i punti 1 e 2 sopracitati fai cosi ( è semplice ) ti prendi il tester lo metti in modalità voltaggio corrente continua , alimenti l modem solo con l alimentatore e non lo colleghi alla rete telefonica e fai due misure come illustrato nella foto sotto

Misura la tensione nei reofori ( sono i punti di saldatura dove hai levato il condensatore ) del area blu in foto e quella verde , se nell area blu ci sono circa 34volt vuol dire che il problema è nel fusibile del punto 2 e nella resistenza da 10 ohm affianco ( quella dove ce scritto 010 ) altrimenti se dove ce l area blu non ce comunque tensione vuol dire che il problema è piu a monte , prova a misurare anche i due condensatori dove ce il riquadro giallo