Buondì, ho fatto ulteriori verifiche e credo di aver capito il problema. Il soccorritore sembra funzionare senza problemi, ma evidentemente è stato installato mal dimensionato per la pompa. Dico così perché collegando una lampadina per fare 2/3 test senza star li a riempire ogni volta il serbatoio, l'inverter parte senza problemi (e si sente il minimo ronzio). Quando invece ho fatto il test con la pompa, l'inverter emette un ronzio più forte e poi sembra fermarsi tutto probabilmente per sovraccarico (mi stupisco però di come un dispositivo del genere non abbia una spia o un buzzer che avvisi del problema, perché lui continua a segnare che manca tensione).
Ora, mi procurerò una pinza amperometrica per misurare il carico della pompa collegata alla rete, sapendo che il soccorritore dovrebbe garantire max 700W, se ne assorbe meno la pompa allora c'è qualcos'altro che non va.
Relativamente a questo, preferirei riutilizzare le due batterie che già possiedo, 2 in serie da 12v. Sono sanissime.
Se la pompa consumasse entro i 500W continui, anche se dubito, in casa avrei già un inverter a sinusoidale pura da 12v, 500W e 1kW picco. Potrei tenere le batterie in carica e far passare tutto per quell'inverter, quando scatta usa comunque le batterie.